Le coin du Physicien :

S�curit� routi�re, freinage et distance d'arr�t

Tue, 19 Oct 2010 00:12:26 +0100

Une fois l'applet Java chargé (cela doit prendre tout au plus quelques dizaines de secondes) vous pourrez accéder à une simulation interactive qui vous permettra d'explorer quelques notions de mécanique.

Schéma interactif (Geogebra) à manipuler à volonté pour illustrer le cours de mécanique.

Niveau : collège (classe de troisième pour les notions d'énergie cinétique, de distance de réaction, distance de freinage et distance d'arrêt), lycée (classe de première/terminale scientifique pour le théorèmes de l'énergie cinétique et du centre d'inertie).

Ci-dessous quelques captures d'écran (image cliquable, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :

• Distance de réaction, distance de freinage, distance d'arrêt (freinage & sécurité routière, énergie cinétique d'un véhicule en mouvement de translation rectiligne, théorème de l'énergie cinétique).

La distance d'arrêt D_a est définie comme étant la somme de D_r (distance parcourue pendant le temps de réaction : le conducteur a vu l'obstacle mais n'a pas encore freiné. Le temps de réaction vaut typiquement 1 à 3 s... valeur qui dépend de l'âge du conducteur, de sa vigilance, de son état de santé, de sa fatigue, de l'absorption ou non de substances psychotropes, médicaments, etc.) et de D_f (distance de freinage, dépend de l'état de la route (sèche ou mouillée), de l'état du véhicule (freins, pneumatiques, de sa charge, etc) :

D_a = D_r + D_f

Exemple : pour un véhicule se déplaçant à la vitesse initiale v₀ = 90 km.h^-1 (soit 25 m.s^-1) et pour un temps de réaction t_r = 2 s, on trouve D_r = v₀. t_r = 2 × 25 = 50 m. La distance de freinage vaut typiquement D_f = 52 m sur route sèche (D_f = 76 m sur route mouillée, soit environ 100×(76-52)/52 ≈ 45 % de plus) et, finalement D_a = 50 + 52 = 102 m sur route sèche (D_a= 50 + 76 = 126 m sur route mouillée).

La phase de freinage peut être étudiée au niveau première ou terminale S en appliquant d'une part le théorème de l'énergie cinétique au système (supposé indéformable) dans le référentiel terrestre supposé Galiléen, d'autre part en exprimant le théorème du centre d'inertie (ou 2ième loi de Newton) dans ce même référentiel. Vous pouvez trouver, ci-dessous au format .pdf, l'ensemble des calculs permettant d'établir les principaux résultats utilisés pour construire l'applet GeoGebra.

freinage.pdf

On peut, pour finir, s'intéresser à l'énergie du choc... et illustrer cela en calculant la hauteur h de chute libre (on néglige les frottements) de même énergie cinétique que celle que possède le véhicule au moment où il percute l'obstacle. Soit v_chocsa vitesse à cet instant. On trouve facilement que h = ½ (v²_choc /g) ≈ 0,05.v²_choc.

Exemple : pour une vitesse de choc v_choc=50 km.h^-1 (soit ≈ 13,9 ms^-1) la hauteur de chute libre équivalente (qui, on le notera au passage, ne dépend pas de la masse du véhicule dès lors qu'on se donne la vitesse du choc) vaut h ≈ 0,05 × 13,9²≈ 9,8 m (soit un peu plus de 3 étages !).

Conclusion : rouler vite c'est rouler dangereusement !!

Remarques :

- on peut vérifier rapidement avec l'applet proposé que la distance de freinage est multipliée par quatre (tout comme l'énergie cinétique) lorsque la vitesse est doublée.

Exemple : lorque v₀ = 45 km.h^-1 la distance de freinage sur route sèche est d'environ 13 m, alors qu'elle est de 52 m (= 4×13 m) pour une vitesse v₀ = 90 km.h^-1.

- l'énergie cinétique est dissipée sous forme de chaleur (énergie thermique) au niveau des freins (des pneus, etc) lors de la phase de freinage, et est convertie en énergie de déformation de la carrosserie (et des passagers...) lors du choc.

- considérons la réglementation qui est appliquée sur les autoroutes : la vitesse limite de 130 km.h^-1 sur route sèche doit être ramenée à 110 km.h^-1 en cas de pluie.

A l'aide de l'applet GeoGebra proposé ici, essayons de comprendre les raisons d'un tel choix. Pour v₀ = 130 km.h^-1 la distance de freinage sur route sèche est d'environ 109 m, alors qu'elle est de 113 m pour une vitesse v₀ = 110 km.h^-1 en cas de route mouillée. Ces deux valeurs, qui sont du même ordre de grandeur, pemettent de justifier le choix qui a été fait ici... on considère que la distance de freinage doit rester approximativement la même, que la route soit sèche ou mouillée. Il faut pour cela réduire la vitesse de 20 km.h^-1, passant ainsi de 130 km.h^-1à 110 km.h^-1.

- on peut vérifier en prenant quelques exemples, que la distance de freinage sur route mouillée est environ 40 à 45 % supérieure à cette même distance sur route sèche.

Exemples :

* pour v = 15 km.h^-1 : (D_f)_{route sèche} = 1,5 m et (D_f)_{route mouillée} = 2,1 m (soit 40 % de plus) ;

* pour v = 30 km.h^-1 : (D_f)_{route sèche} = 5,8 m et (D_f)_{route mouillée} = 8,4 m (soit 45 % de plus) ;

* pour v = 70 km.h^-1 : (D_f)_{route sèche} = 32 m et (D_f)_{route mouillée} = 46 m (soit 45 % de plus) ;

* pour v = 110 km.h^-1 : (D_f)_{route sèche} = 78 m et (D_f)_{route mouillée} = 113 m (soit 45 % de plus).

J'attire votre attention sur le fait que votre navigateur doit accepter les javascripts pour pouvoir profiter pleinement des animations proposées... dans le cas contraire vous perdrez une bonne partie de l'interactivité de l'application.

Vous faites apparaître une nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :

Sécurité routière, freinage et distance d'arrêt

En déplaçant les curseurs ou, plus simplement, en proposant une valeurs dans les champs prévus à cet effet vous pouvez faire varier la masse du véhicule, sa vitesse initiale, le temps de réaction du conducteur, la distance obstacle-véhicule au moment où le conducteur apperçoit l'obstacle et, enfin, la pente de la route (ou encore son inclinaison par rapport à l'horizontale).

Trois cases à cocher permettent de choisir entre route sèche/route mouillée, de lancer le déplacement du véhicule jusqu'à son arrêt (avec ou sans choc), de faire apparaître une animation correspondant à une chute libre du véhicule, de vitesse initiale la vitesse au moment du choc (accessible uniquement s'il y a collision).

François Emond, créé avec GeoGebra

Le flocon de Von Koch : une introduction aux fractales

Sun, 01 Aug 2010 12:05:29 +0100

Schéma interactif (Geogebra) à manipuler à volonté pour illustrer le cours de mathématiques.

Niveau : lycée et études supérieures.

Ci-dessous quelques captures d'écran (images cliquables, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :

• Le flocon de Von Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (et ceci bien avant l'invention du terme "fractale" par le mathématicien Benoît Mandelbrot).

On peut le créer à partir d'un triangle équilatéral en modifiant récursivement chaque segment de droite constituant l'un de ses côtés de la manière suivante :

on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales ;
on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape ;
on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Le flocon de Von Koch est la limite de la courbe obtenue, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-dessus et en effectuant les modifications de telle manière que les triangles soient tous orientés vers l'extérieur.

On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer cette fois-ci en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.

Voici, ci-dessous, un zoom sur un partie caractéristique de la courbe frontière du flocon. La succession des images montre ce qui se passe lorsque le nombre d'itération croît.

La courbe frontière du flocon de Von Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points. On parle, pour désigner sa structure "répétitive", de fractale.

Une structure fractale est une courbe ou une surface de forme irrégulière ou morcelée qui est construite en suivant des règles déterministes ou stochastiques (aléatoires) impliquant une homothétie interne. Plus précisémment "Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tous points" (on parle alors de structure "hologigogne").

Le flocon de Von Koch possède ainsi une propriété géométrique particulière :

- considérons un des côtés du triangle équilatéral de départ.

- comme on peut le voir sur les images ci-dessous et en utilisant l'applet proposé, on peut le diviser en 4 parties égales. Chacune des parties, si on la dilate par un facteur 3, est identique à la partie correspondante du flocon de Koch initial (il faut, au préalable, si on veut vérifier ce résultat en utilisant l'applet, faire une itération supplémentaire, comme le montre l'animation ci-après).

On appelle cette propriété la similarité interne.

x 3 →

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est donnée par la relation :

où n représente le nombre de parties et 1/m le rapport de similitude (soit ici, d'après ce qui précède 1/3). On obtient ainsi le résultat suivant :

Remarque : cette définition de la dimension fractale est compatible avec la notion usuelle de dimension. Considérons un carré : on peut le partager en 4 carrés égaux de côté moitié, et une similitude (ici une dilatation) de rapport 2 redonne le carré de départ. La dimension fractale du carré vaut donc : ln(4)/ln(2)=2, ce qui est bien la dimension usuelle d'un carré.

Le flocon de Von Koch est de longueur infinie (pour le détail de la démonstration, voir l'applet proposé en cochant la case "Longueur de la frontière du flocon de Von Koch") et délimite une aire finie égale au 8/5 de l'aire A₀ du triangle initial (voir, d'une part l'applet en cochant la case "Aire du flocon de Von Koch" et, d'autre part, ci-dessous, une démonstration de ce résultat).

Cliquer pour agrandir le texte

J'attire votre attention sur le fait que votre navigateur doit accepter les javascripts pour pouvoir profiter pleinement des fonctionnalités proposées... dans le cas contraire vous perdrez une bonne partie de l'interactivité de l'application.

Vous faites apparaître une nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :

Le Flocon de Von Koch : une introduction aux fractales

Veuillez noter également que le chargement de l'applet, puis son utilisation, peut être assez lent compte tenu de la grande quantité de calculs nécessaires pour réaliser l'animation et ceci en particulier lorsque le nombre d'itération dépasse 5.

En déplaçant les curseurs vous pouvez faire varier le nombre n d'itération, la valeur de la longueur d'un des côtés du triangle initial (utile pour zoomer sur la frontière du flocon lorsque le nombre d'itération est supérieur à 4 et que la longueur L devient grande).

François Emond, créé avec GeoGebra

S�ries de Fourier, ph�nom�ne de Gibbs

Sun, 25 Jul 2010 23:52:54 +0100

Calcul vectoriel �l�mentaire : produit scalaire et produit vectoriel

Sun, 25 Jul 2010 22:58:27 +0100

Une fois l'applet Java chargé (cela doit prendre tout au plus quelques dizaines de secondes) vous pourrez accéder à quelques notions de calcul vectoriel élémentaire (produit scalaire et produite vectoriel).

Applet Geogebra destiné à illustrer le cours de mathématiques/physique (mécanique du point et du solide, électromagnétisme, optique, thermodynamique, etc).

Niveau : lycée et enseignement supérieur.

Ci-dessous une capture d'écran (image cliquable, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :

• Produit scalaire et produit vectoriel : définition et interprétation géométrique, définition analytique.

Vous faites apparaître une nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :

Calcul vectoriel élémentaire : produit scalaire et produit vectoriel

Pour cet applet pas d'animation ni de possibilité d'interaction avec le contenu de la page... juste quelques notions à maîtriser impérativement pour envisager sereinement un cursus scientifique dans l'enseignement supérieur.

François Emond, créé avec GeoGebra

Champ et potentiel �lectrostatique (charges ponctuelles et dip�les)

Sat, 24 Jul 2010 16:33:23 +0100

Schéma interactif (Geogebra) à manipuler à volonté pour illustrer le cours d'électrostatique.

Niveau : études secondaires et postbac.

Ci-dessous quelques captures d'écran (image cliquable, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :

• Champ et potentiel électrostatique créé par une distribution de dipôles et de particules chargées.

Vous faites apparaître une nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :

Champ et potentiel électrostatique

En déplaçant les curseurs vous pouvez faire varier les valeurs des charges électriques, la valeur et la direction d'un champ électrostatique constant, les caractéristiques (valeur et distance entre les charges, orientation) de dipôles électrostatiques. Le placement des charges et des dipôles se fait simplement en déplaçant les points correspondants. Le vecteur champ E_M (j'utilise ici une lettre grasse pour représenter le vecteur) indique le sens, la direction et la norme du champ électrique résultant en chacun des points du plan de la figure.

Il est également possible de représenter les équipotentielles en cliquant la case à cocher appropriée. On peut alors aisément vérifier que, comme prévu, le vecteur champ E_Mest localement (au point M) orthogonal à l'équipotentielle passant en ce point.

Veuillez noter que les lignes de champ ainsi que les équipotentielles seront d'autant mieux représentées que la longueur du segment utilisé pour modéliser les lignes de champ/les équipotentielles sera choisi petit (mais la durée nécessaire pour couvrir la zone étudiée devient rapidement rédhibitoire). Un bon compromis est donné par la valeur fournie par défaut (à savoir l = 0,3).

Remarque : la position du vecteur champ uniforme externe E_ext est, évidemment, sans incidence sur le résultat, il est mobile dans la fenêtre de visualisation par pure commodité...

François Emond, créé avec GeoGebra

Champ �lectrostatique cr�� par une distribution de particules charg�es

Wed, 21 Jul 2010 21:43:35 +0100

Schéma interactif (Geogebra) à manipuler à volonté pour illustrer le cours d'électrostatique.

Niveau : études secondaires et postbac.

Ci-dessous quelques captures d'écran (image cliquable, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :

• Champ électrostatique créé par une distribution de particules chargées.

Vous faites apparaître une nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :

Champ électrostatique

En déplaçant les curseurs vous pouvez faire varier la valeur des charges électriques. Le placement des charges se fait simplement en déplaçant les points A,B,C et D correspondants. Les vecteurs indiquent le sens, la direction et la norme du champ électrique résultant en chacun des points représentés.

François Emond, créé avec GeoGebra

Electromagn�tisme/applets GeoGebra

Wed, 21 Jul 2010 13:14:13 +0100

Vous trouverez ici des animations dynamiques et des simulations interactives (GeoGebra) pour

illustrer et comprendre le cours d'électromagnétisme :

• Champ électrostatique créé par une distribution de particules chargées

• Lignes de champ électrostatique créé par une distribution de particules chargées (charges ponctuelles, dipôles), équipotentielles

• Champ magnétique créé par une distribution de courants linéiques

•

Cascade de Feigenbaum : bifurcations et transition vers le chaos

Sun, 04 Jul 2010 22:52:52 +0100

Math�matiques/applets GeoGebra

Sun, 04 Jul 2010 22:29:55 +0100

Vous trouverez ici des animations dynamiques et des simulations interactives (GeoGebra) pour

illustrer et comprendre le cours de mathématiques pour les sciences physiques :

• Cascade de Feigenbaum : transition vers le chaos

• Séries de Fourier, phénomène de Gibbs, valeur moyenne, valeur efficace, facteur de forme et taux d'ondulation,

taux de distorsion harmonique

• Le flocon de Von Koch : une introduction aux fractales

• Calcul vectoriel élémentaire : produit scalaire et produit vectoriel

• Fractale et plan complexe : l'ensemble de Mandelbrot

Math�matiques

Sun, 04 Jul 2010 22:26:32 +0100

Vous trouverez ici des animations dynamiques et des simulations interactives (GeoGebra) pour illustrer et comprendre diverses notions mathématiques telles que chaos, fractales, séries de Fourier, etc.

Niveau : secondaire et supérieur.

C'est ici :

• Applets GeoGebra